무게중심을 구하는 공식 How to get center of gravity?

4점 체중계인 Wii로부터 체중의 중심점을 구해보라는 프로그램 문제를 인턴 학생에게 냈더니 어떻게 무게중심을 구하는지 전혀 감이 없는 모양이었다. 무게중심을 구하는 문제가 그렇게 고도의 문제도 아닌데, 공식을 잊어버렸을까?

어찌 되었든 친절한 사람이 되어 보려고 공식을 유도해 주었다. 생각해보면 나도 공식을 모두 외고 있는 것은 아니다. 다만 정의를 기억하고 있기 때문에 다시 유도할 수 있는 것이다. 수년 전에 물리를 배워본 적이 없는 의대생 후배에게 난데 없이 양자역학 문제를 가르쳐 주느라 20년 전 기억을 더듬어 본 적도 있다. 그때도 공식은 대개 잊었지만 정의를 기억하는 것이 도움이 되었다. 어차피 공식은 교재에 있으니까 참고하면 된다.

한편 무게 중심(Center of gravity)는 질점들의 대표값으로 이해되어야 한다. 여러 질점이 분포하고 그 질점들이 한군데에 모여 있다고 가정할 때 그 점이 무게 중심 또는 단순히 중심(무거울 중, 마음 심)이라고 한다. 대표값이라는 것에 착안하면 무게중심은 질점들의 평균 계산식으로 구할 수 있다는 것을 쉽게 알수 있다. 여담이지만 중심(가운데 중, 마음심)은 일본어로 chuushin 이고 무게 중심은 juushin이다. 한문을 모르면 chu-shin으로 발음하게 된다.(물론 다른 단어가 된다)

평균을 나타내는 식도 여러가지 스타일이 있지만 아인시타인 컨벤션이라고 부르는 수식이 가장 오래 기억하기 쉽다.  무게중심을 Xc, 전체 질량을 W, 각 질점w_k, x_k라  하면 W*Xc = w_k*x_k 에서 구할 수 있다. 편의상 벡터를 사용한 공식이지만 화살표 기호를 표시하지 않았다.

 

좀더 익숙한 수식 공식으로 표현하자면 

(안투리움 : 꽃에 관한 다음백과 정보 )

기왕에 예제문제도 내서 풀어보자.

A(0,0) 20kg, B(30, 0) 15kg, C(30,20) 10kg, D(0,40) 30kg으로 분포한다고 할때 무게 중심은 어디인가? 2차원문제는 일부러 복소수를 써서 계산해주는 것도 수식이 간편하므로 복소수 방식을 쓰기로 한다.

W=20kg + 15kg + 10kg + 30kg = 75kg

즉 무게중심은 X(10, 18.7)이 된다.