(퀴즈)생일이 적어도 한쌍 이상이 같을 확률계산

생일이 같은 사람이 있을 사람수는 의외로 적다. 계산과 실제 조사를 통해 실증해 보았다.

퀴즈 문제

어느 모집단에서 적어도 한쌍의 생일이 같은 날짜가 될 확률이 50%를 넘으려면 몇명이 모이면 그중의 적어도 2명이 같은 생일이 될까? 적어도 한쌍(두명)의 생일이 같은 경우가 생기려면 몇명정도가 모이면 같은 생일자가 있을까?

문제의 답

답은 23명이다

너무 적은 것으로 보이므로 계산을 해보면 적어도 한쌍의 여사건으로 계산하여 모든 사람의 생일이 서로 다른 경우를 계산하면 그 여사건의 확률이 답이 된다.

즉 P: 적어도 한쌍의 생일이 같을 확률
Q: n명의 모든 사람의 생일이 다를 확률

P= 1 - Q = 1 - (364/365) * (353/365) * ... (365 - n)/365
P >= 0.5 계산을 만족하는 n을 구하면 된다.

(이꽃의 이름은 또 뭔가? 어려운 이야기가 시작되기 전에 잠시 휴식합시다.)

실증의 의미

어느 야구단의 선수 명단을 가지고 과연 얼마나 확률이 맞아 떨어지는지 확인해 보았다. 야구단의 선수는 대략 40명인데 확률적으로만 본다면 두쌍 정도가 같은 생일이 될 것으로 예상했다. 그러나 실제로는 세쌍의 선수가 같은 생일이었다.

야구단을 모두 조사해 보면 생일에는 어느 정도 편중이 있다. 추운 지역 출신과 더운 지역 출신으로 구분해 보면 생일이 지역의 계절과 유사한 분포를 가진다.

사계절이 있는 나라에서는 아무래도 결혼 철이라는 것도 있고, 아이를 양육하기 좋은 계절이 있기 마련이다. 그래서 연중 균등하게 아이들이 태어나는 것이 아닐 것이다.

문제의 계산은 Mary L. Boas의 수리물리학 책에서 연습문제로 나온 문제의 하나이다.
자세한 페이지는 지금 내 곁에 책이 있지 않아서 인용할 수 없으나, 책이 옆에 있는 독자는 페이지를 알려주시기 바란다.

계산 소스:자바스크립트

function getAnswer(){
var P, K;
P = 1;
K = 0;
while (P > 0.5) {
    P = P*(365-K)/365;
    K++;
}
if (P <=0.5) {
    document.write("Answer probability is " + K);
}
}

계산으로 검증해보실 분을 위해서 간단히 브라우저 상에서 계산할 수 있도록 자바스크립트로 소스를 공개합니다. 자바스크립트가 처음이신 분은 [학생들을 위하여] - (퀴즈)1부터9까지의 숫자를 써서 abc+def=xyz 가 되는 조합 에서 HTML로 예를 들었으니 참고해 보세요. 그래도 잘 모르시겠으면 댓글을 남겨 주시고 하루 이틀을 기다려 주세요.